ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

1.  สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

1.1สมบัติรูปสามเหลี่ยม        รูปสามเหลี่ยม เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือ รูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีมุม 3 มุมหรือจุดยอด และมีด้าน 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A,B, และ C เขียนแทนด้วย ABC คุณสมบัติและการแบ่งประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวของด้าน        1.  รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า   (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมีมุมทุกมุมขนาดเท่ากัน นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า        2.รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว        3.รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า คุณสมบัติและการแบ่งประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามมุมภายใน        1.  รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก  ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a, b เขียนอย่างย่อเป็น a2 + b2 = c2 ดูเพิ่มเติมที่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก        2.  รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม             2.1 รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)             2.2. รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม        พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 1/2 x ฐาน x สูง เช่น จากสูตร          พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม           = 1/2 x ฐาน x สูง                                                                         = 1/2 x 20 x 16                                                                         = 160 ตารางหน่วย ตอบ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม 160 ตารางหน่วย 2.  ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในวิชาคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิดระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง                                                        โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์  แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทดังกล่าวเกี่ยวข้องกับทั้งพื้นที่และความยาว ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถสรุปได้หลายวิธี รวมทั้งปริภูมิมิติที่สูงขึ้น ไปจนถึงปริภูมิที่มิใช่แบบยูคลิด ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก และอันที่จริงแล้ว ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเลยก็มี แต่เป็นทรงตัน n มิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของความยากจะเข้าใจในคณิตศาสตร์ ความขลังหรือพลังปัญญา มีการอ้างถึงในวัฒนธรรมสมัยนิยมมากมายทั้งในวรรณกรรม ละคร ละครเพลง เพลง สแตมป์และการ์ตูน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสองรูปบนด้านประชิดมุมฉาก (a และ b) จะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (c)              ถ้าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี AĈB เป็นมุมฉาก ให้ a , b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A , B และ C ตามลำดับ แล้วจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีบทปีทาโกรัสในอีกความหมายหนึ่ง             ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก    บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส             ถ้า a , b และ c เป็นความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC และ c2 = a2 + b2 แล้วจะได้ว่าสามเหลี่ยม ABC นี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีด้านยาว c หน่วย เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก การเปรียบเทียบทฤษฎีบทปีทาโกรัส กับบทกลับของทฤษฎีบทของปีทาโกรัส ทฤษฎีบทของปีทาโกรัส ข้อความที่เป็นเหตุ       คือ       ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก                                                 c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก                                                 a และ b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ข้อความที่เป็นผล        คือ       c2 = a2 + b2 บทกลับของทฤษฎีบทของปีทาโกรัส ข้อความที่เป็นเหตุ       คือ       ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีด้านยาว a , b และ c หน่วย และ c2 = a2 + b2 ข้อความที่เป็นผล        คือ       รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และมีด้านที่ยาว c หน่วยเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก 3.  บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3.1  บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั้นเป็นจริง โดยกล่าวไว้ดังนี้กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่ จะมีสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรั อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่าสำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า แล้วมุมระหว่าง a กับ b จะวัดได้ 90° บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's Elements ของ ยุคลิดด้วย ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฏของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้ สามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากกำหนด ด้านตรงข้ามมุมฉาก  ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม,มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม ·         ถ้า สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ·         ถ้า สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ·         ถ้า สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน กำหนดความยาวด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมต่างๆ ดังนี้จงหาว่ารูปสามเหลี่ยมในข้อใด เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 1) 6, 8, 10 วิธีทำ                62 = 36                       82 = 64                     102 = 100               62 + 82 = 36+64                            = 100                      ดังนั้น 102 = 62 + 82                      แสดงว่า เป็น Δ มุมฉาก 2) 4, 6, 8 วิธีทำ                    42 = 16                              62 = 36                              82 = 64                       42+ 62 = 16+36                                  = 52                    ดังนั้น 82 น 42+ 62                  แสดงว่าไม่เป็น Δ มุมฉาก 3) 8, 10, 12 วิธีทำ                    82 = 64                           102 = 100                           122 = 144                   82+ 102 = 64+100                                = 164                  ดังนั้น 122 น 82+ 102           แสดงว่าไม่เป็น Δ มุมฉาก 4) 8, 17, 15 วิธีทำ                   82 = 64                           172 = 289                           152 = 225                    82 + 152 = 64+225                                 = 289                  ดังนั้น 172 = 82 + 152                 แสดงว่า เป็น Δ มุมฉาก